坡度与坡向由高程邻域的变化率推导

数字高程模型给出规则网格上的高程采样。坡度、坡向、阴影地形和粗糙度不是传感器直接观测，而是根据像元邻域的高程变化推导。结果既受地形影响，也受网格分辨率、插值、坐标单位和算法窗口影响。

同一地区用不同分辨率 DEM 计算，细小沟谷和陡坎会呈现不同。地形派生量应与源 DEM 和计算参数一起解释，不能脱离尺度比较。

局部梯度描述最陡变化方向

在连续表面上，水平两个方向的高程偏导组成梯度。梯度大小对应最陡上升率，坡度由它转换为角度或百分比；梯度方向可进一步得到坡向。

栅格中没有连续偏导，只能用中心像元周围高程估计。常见算法使用三乘三邻域，对不同位置赋权。Horn 与 Zevenbergen–Thorne 等方法在平滑和粗糙地形上的表现不同，没有对所有表面都最优的单一公式。

邻域扩大可以减少噪声，却会平滑局部地形并改变代表尺度。若目标是道路边坡，区域级 DEM 的派生坡度可能过粗；若目标是流域总体形态，过细表面中的建筑和植被噪声可能干扰。

输入无数据会使邻域不完整。软件可以跳过边缘、插值或尝试使用剩余像元，各种策略会在水体、覆盖边界和镶嵌接缝附近产生差异。

坡度是垂直变化与水平距离的比值。投影坐标以米表示、DEM 高程也以米时，可以直接计算；水平单位为度而高程为米时，数值不能直接相除。

经纬度每度对应的地面距离随纬度变化。软件的自动单位推断可能处理常见情况，但高纬、非标准坐标系或元数据缺失时仍需明确变换。可靠做法通常是在适合研究区的投影坐标中计算。

垂直单位可能是英尺，水平单位是米。比例因子错误会让坡度整体偏大或偏小。高程基准不同主要影响绝对高度，若基准差是空间常量，对局部坡度影响有限；空间变化的基准或拼接偏差则会制造假坡。

地球曲率对局部小范围计算影响可能较小，对大范围和粗分辨率任务则需要考虑。不能用一个平面投影无条件覆盖全球。

坡度角通常以度表示，水平面为零，接近垂直面趋近九十度。百分坡度是高差与水平距离之比乘一百，四十五度对应百分之一百，而不是百分之四十五。

在小坡度时，两者数值可能接近，陡坡时差异显著。阈值规则必须注明单位。把“坡度大于 30”用于不同数据而不说明度或百分比，会完全改变筛选范围。

栅格像元代表邻域估计，不是像元内部每一点的实际倾斜。极陡悬崖在有限分辨率下会被平滑，坡度结果不应超出源数据可表达尺度。

坡向表示最陡下降或上升方向的方位，常用从北顺时针的零到三百六十度。部分数学工具使用从东逆时针的三角角度。输出元数据和软件选项必须核对约定。

平坦区域没有唯一坡向，应标记为无数据或专门类别。把平坦区赋值为零会与“朝北”混淆，除非另有坡度条件共同解释。

坡向是环形变量，1 度与 359 度很接近，普通算术均值却得到 180 度。统计和建模应使用正弦、余弦分量或圆形统计。

北半球“南坡更暖”之类经验还受纬度、季节、遮蔽和土地覆盖影响。坡向只是辐射条件的一个输入，不能直接等同于生态结果。

hillshade 根据坡度、坡向、假设太阳方位和高度计算明暗，用于增强地形视觉。改变光源会改变阴影，暗处不一定低、亮处不一定高。

单方向光照会隐藏与光线平行的地形，多方向阴影可以改善可读性，但更偏向制图表达。垂直夸张会强化起伏，也会扭曲视觉判断。

阴影地形适合作为底图，不应直接用于定量坡度分类。若导出为八位图，亮度还受拉伸和色彩管理影响，已不保留原始地形量。

坡度是差分运算，会放大相邻像元的随机高程误差。条带、拼接缝、空洞填补和地表对象会在派生图中变得明显。计算前应检查 DEM 类型：数字表面模型包含树木建筑，数字地形模型试图表示裸地，二者回答不同问题。

重采样会改变局部梯度。把粗 DEM 放大到细网格不会创造真实细节，反而可能形成平滑坡面。多个 DEM 拼接时，应先统一基准、分辨率和边界，再计算导数，避免在接缝处出现人工陡坡。

验证可以在已知平面上检查坡度和坡向，再对山脊、谷地、平坦区和无数据边缘抽样。与实测坡度比较时，要匹配观测尺度和位置精度。

地形派生量把高程表面的局部变化转换为分析变量。只有保留源 DEM、单位、邻域算法和输出约定，坡度与坡向才是可复现的测量，而不只是看起来合理的灰度图。

OSGeo GDAL Project：GDAL Documentation，https://gdal.org/en/stable/
Open Geospatial Consortium：WKT representation of coordinate reference systems，https://www.ogc.org/standards/wkt-crs/